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1、国际数学竞赛题011. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数. 2. 设(x+(2x-1)+(x-(2x-1)=A,试在以下3种情况下分别求出x的实数解: (a) A=2;(b)A=1;(c)A=2. 3. a、b、c都是实数,已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样. 当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式. 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值. 5. 在线段AB上任意选取一点M
2、,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、N, (a.) 求证 AF、BC相交于N点; (b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S; (c.) 当M在A与B之间变动时,求线断 PQ的中点的轨迹. 6. 两个平面P、Q交于一线p,A为p上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上. 试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,并且顶点B、D分别落在平面P和Q上. 7. 找出所有具有下列性质的三位数 N:N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和. 8. 寻找
3、使下式成立的实数x: 4x2/(1 - (1 + 2x)2 = 43 A. 并求出等号何时成立. 16. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数. 17. P是三角形ABC内部一点,PA交BC于D,PB交AC于E,PC交AB于F,求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2. 18. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c,锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点. 求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) = c 1/2.22. 正方体 ABCDABCD(ABCD、ABCD分别是上下底). 一点 x沿着正方形
4、ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点Y以同样的速度沿着正方形BCCB的边界以方向BCCBB运动. 点X、Y在同一时刻分别从点A、B开始运动. 求线断XY的中点的轨迹. 23. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1. 24. 在圆K上有三个不同的点A、B、C. 试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆. 25. 一个等腰三角形,设R为其外接圆半径,内切圆半径为 r,求证这两个圆的圆心的距离是(R(R-2r). 26. 求证:正四面体有5个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切; 反过来,如果一个四面体有5个这样的球,则它必然是正四面体. 27
5、. 找出下列方程的所有实数根(其中 p是实参数): (x2-p)+2(x2-1) = x. 28. 给定一点A及线断BC,设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角,试求出所有这样的点P的轨迹. 29. 在一个 n边形中,所有内角都相等,边长依次是 a1 = a2 = . = an,求证:所有边长都相等. 30. 设 y是一个参数,试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, . , 5)的所有解 x1, . , x5. 31. 求证 cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.32. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛,一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE. 但是实际上没有一位同学的名次被猜中,而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻(例如,C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种). 还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序. 实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样;而且有两对同学(4个不同的同学)的名次像预测中的一样是相连. 试讨论最后的名次如何?