高等数学上册例题1.doc
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1、第三章第三章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用 3.1 定积分的概念、性质、可积准则定积分的概念、性质、可积准则 3.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义 例 1 已知函数)(xf在a,b上满足0)(, 0)(, 0)( xfxfxf,试从定积分的几何意义,比较下述三个数的大小: =badxxfI)(1,)(2abbfI=,)()(23bfafabI+= 解 由题设可知,非负函数)(xf在a,b上单调减少且向下凸,其图形如图 33 所示。由定积分的几何意义知,1I是曲边梯形ABCD的面积,2I是矩形ABDE的面积,3I是梯形ABDC的面积,故 213III。 图 33 3.1.
2、4 可积准则可积准则 例 2 利用定义计算定积分102dxx。 解 因为被积函数2)(xxf=在积分区间 1 , 0上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间 1 , 0的分法及点i的取法无关。因此,为了便于计算,不妨把区间 1 , 0分成n等份,分点为ix1, 2 , 1,=nini;这样,每个小区间,1ixi的长度ninxi, 2 , 1,1=;取nixii, 2 , 1,=。于是,得和式 iiniiiniiinixxxxf=21211)( +=+=nnnnnninnninini12)1161) 12)(1(61111321321 当0即n时,取上式右端的极限。由定积分的定义,即得所要计算
3、的积分为 31121161limlim210102=+=nnxdxxniini 由定积分的定义,我们很容易的得出定积分的近似计算公式 )()()()()(2111011nbaninibayyynabdxxfyyynabxfnabdxxf+= 3.1.5 定积分的性质定积分的性质 例 3 比较dxex102与xdex10的大小。 解 在区间 1 , 0上有xx 2,从而 xxee2,故dxex102xdex10。 例 4 证明:22041222edxeexx。 证明 设xxexf=2)(,2 , 0 x,则) 12()(2=xexfxx。 令0)(= xf,得 )2 , 0(21=x 而241)
4、2(,21, 1)0(efeff=,即)(xf在2 , 0上,最大值为2eM =,最小值为41= em,从而 )02()02(220412edxeexx 即 22041222edxeexx 例 5 设)(xf在a,b上连续,0)(xf,若=badxxf0)(,证明0)(xf。 证明 若)(xf不恒等于零,则存在,0bax ,使得0)(0 xf,不妨设),(0bax ,则由)(xf的连续性知,对2)(0 xf=,存在0,使,00baxxx+时,2)(| )()(|00 xfxfxf,即2)()(00 xfxf,故 0)(2)()()()()()(0000000000=+=+xfdxxfdxxfd
5、xxfdxxfdxxfdxxfxxxxbxxxxaba 与badxxf0)(矛盾,故0)(xf。 例 5 设)(xf在0,1上可微,且满足=210)(2) 1 (dxxxff,证明:存在) 1 , 0(,使得 0)()(=+ff 证明 令 1 , 0),()(=xxxfxF。由积分中值定理,存在21, 0,使得 )()()(212)(2210Fffdxxxf= 因此)() 1 () 1 (FfF=。在由罗尔定理知,存在) 1 , 0() 1 ,(,使0)(=F,即 0)()(=+ff 3.2 微积分基本定理微积分基本定理 3.2.1 牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 例 1 计算第一节中的定积
6、分dxx102。 解 由牛顿莱布尼茨公式 313031333103102=xdxx。 例 2 计算+31211dxx。 解 +31211dxx.12743) 1arctan(3arctanarctan31=x 例 3 计算12xdx。 解 12xdx. 2ln2ln1ln|ln12=x 例 4 计算正弦曲线xysin=在, 0上与x轴所围成的平面图形的面积(图 34)的面积。 解 2) 1() 1(cossin00=xxdxA 例 5 汽车以每小时 36km 速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等加速度2/5sma=刹车。问从开始刹车到停车,汽车驶过了多少距离。 解 首先算出从开始刹车到停车
7、经过的时间。设开始刹车的时刻为0=t,此时汽车速度 ./10/360smhkmv= 刹车后汽车减速,其速度为 tatvtv510)(0=+= 当汽车停住时,速度0)(=tv,故从0510)(=ttv 解得 )(2510st= 于是),(102510)510()(2022020mttdttdttvs= 即在刹车后,汽车需驶过 10m 才能停住。 3.2.2 原函数存在定理原函数存在定理 例 6 设函数 =xxxxxf2,220,sin)( 求0)(dxxf。 解 +=+=22022002sin)()()(xdxxdxdxxfdxxfdxxf 22220431)cos(+=+=xx 例 7 计算下
8、列函数的导数 (1) xatdtt cos2; (2)12arctanxdtt; (3)xdtt02sin; (4)22sinxxtdte 解 (1)xxtdttdxdxacoscos22= (2)212tanarctanxaradttdxdx= (3)23303sin21)()sin(sinxxxxdttdxdx= (4)xxxxxxtxexexexedte2422222sin)(sin2)(sincos2)(sin)(= 例 8 求.lim21cos02xdtextx 解 这时一个00型不定式,由洛必达法则 exxexdtexxxtx212)sin(limlim22cos021cos0=
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