挑战2013中考数学压轴题第六版精选1.4因动点产生的平行四边形问题.doc
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1、1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2012年福州市中考第21题如图1,在RtABC中,C90,AC6,BC8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD/BC,交AB于点D,联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t0)(1)直接用含t的代数式分别表示:QB_,PD_;(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速
2、度;(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”,拖动左图中的点P运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段拖动右图中的点Q运动,可以体验到,当PQ/AB时,四边形PDBQ为菱形请打开超级画板文件名“12福州21”,拖动点Q向上运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部,Q的速度变成1.07,可以体验到,当PQ/AB时,四边形PDBQ为菱形点击动画按钮的中部,Q的速度变成1.思路点拨1菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在ABC的平分线上,PQ/AB先求出点P运动的时间t,再根据PQ/A
3、B,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度2探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径满分解答(1)QB82t,PD(2)如图3,作ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ/AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB,垂足为E,那么BEBC8在RtABC中,AC6,BC8,所以AB10 图3在RtAPE中,所以当PQ/AB时,即解得所以点Q的运动速度为(3)以C为原点建立直角坐标系如图4,当t0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0)如图5,当t4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4)直线EF的解析式是y2x6如图6,PQ的中点M的坐标可以表示
4、为(,t)经验证,点M(,t)在直线EF上所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF图4 图5 图6考点伸展第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:当t2时,PQ的中点为(2,2)设点M的运动路径的解析式为yax2bxc,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),得 解得a0,b2,c6所以点M的运动路径的解析式为y2x6例 2 2012年烟台市中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向
5、点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)过点E作EFAD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,ACG的面积最大?最大值为多少?(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,ACG的面积最大观察右图,我们构造了和CEQ中心对称的FQE和ECH,可以体验到,线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F,线段CE的垂
6、直平分线可以经过点Q和H,因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个请打开超级画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,即t=2,ACG的面积取得最大值1观察CQ,EQ,EC的值,发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答(1)A(1, 4)因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为ya(x1)24,代入点C
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