数学精品课件推选------近似计算的精度.ppt
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1、,近似计算的精度,第二讲 近似计算的精度,一、近似数的概念,在现代社会的生产、生活实践,科学研究与经济交往中,人们不可避免地要和各种各样的数据打交道,由于各种各样的原因,这些数据有时并不是所描述对象的准确值,只能近似地刻画所描述的对象,这种数叫做近似数或近似值。,处理近似数的技能是现代社会公民必备的素质。,1、近似数的三种截取方法,近似数的截取方法通常有去尾法、进一法和四舍五入法。,把一个数截取到事先指定的数位,而把该数位右边的数字全部舍去的方法叫去尾法。,(1)去尾法,得到的近似数为3.1415。,得到的近似数为,一个正数用去尾法得到的近似数是不足近似数,,(2)进一法,而一个负数用去尾法得
2、到的近似数却是是过剩近似数。,(3)四舍五入法,用四舍五入的方法截取近似数的方法要分三种情况:,第一种:将一个数截取到事先指定的数位之后,如果该数位的下一位数字小于5,则按去尾法处理;如果该数位的下一位数字大于5,则按进一法处理;,例如:把5.15436372截取到千分位,得5.154;,把4.1367352截取千分位,得4.137,第二种:将一个数截取到事先指定的数位之后,如果该数位的下一位数字等于5,并且5的后面还有非零数字,则按进一法处理;,例如:把4.1315726截取到千分位,得4.132,第三种:将一个数截取到事先指定的数位之后,如果该数位的下一位数字等于5,并且5的后面没有非零数
3、字,当指定数位的数字为偶数时,用去尾法处理;当指定数位的数字为奇数时,用进一法处理。,例如:把4.1325和4.132500截取到千分位,得到的都是4.132;把4.1335和4.1335000截取到千分位,得到的都是4.134。,2、绝对误差与相对误差,定义1:设某个量的真值为A,它的近似值为,(1)绝对误差与绝对误差界,叫做近似值的绝对误差。,一般说来,绝对误差a是一个变量,因此,它就有一个可能的变化范围,这个范围通常叫做误差界:,叫做近似数a的绝对误差界,,即,(2)三种近似数的绝对误差界,第一:用去尾法和进一法所得到的近似数的绝对误差界是所截留的最后一个数位的一个单位。,例如:用去尾法
4、将521923近似到千位数字得521000,它的绝对误差界是1000;,用进一法把4.1315726截取到千分位得4.132,它的绝对误差界是0.001.,第二:用四舍五入法所得到的近似数的绝对误差界是所截留的最后一个数位的半个单位。,对同一个量测量得到的几个近似值,可以用它们的绝对误差或绝对误差界来比较精确度的高低。但是,对不同的量,有时绝对误差或绝对误差界不能说明问题。例如,称一头大象,所得结果的绝对误差界是20公斤;而称一只狐狸,所得结果的绝对误差界是50克。就其绝对误差界来说,50克远比20公斤要小得多,但是否说明狐狸的重量要准确得多呢?这恐怕不好说,因为狐狸本身的重量要远远地小于大象
5、的重量。为了能够比较这种不同量之间的精确度,我们引入相对误差和相对误差界的概念。,(3)相对误差与相对误差界,之比叫做近似值a的相对误差,,。,相对误差界一般是一个不名数,通常用百分比表示。一个近似值的相对误差界越小,它的准确度就越高。,如果称得大象的体重是5120公斤,狐狸的体重为4160克,,回到前面的大象与狐狸的例子上。,则大象体重的相对误差界为,狐狸体重的相对误差界为,因此大象的体重5120(20)公斤,要比狐狸的体重4160(50)克准确得多。,3、有效数字与可靠数字,(1)有效数字与可靠数字的概念,除了绝对误差界和相对误差界这两个数量指标外,在近似数计算中还常常用有效数字和可靠数字
6、来衡量近似数的准确程度。,定义5:如果近似数a的绝对误差界是某个数位的半个单位,那么从左边第一个非零数字起直到这个数位止,所有的数字都叫做近似数a的有效数字。,由于四舍五入所得到的近似数的绝对误差界是所截留的最后一个数位的半个单位。所以,用四舍五入法得到的近似数从左边第一个非零数字起的所有数字都是有效数字。,大多数数学用表上所开列的数据,若无特别说明,都是用四舍五入法得到,所以它们都是有效数字。,例如:42.009、0.00530、4.800、4.8这几个近似数都是用四舍五入法产生,它们的有效数字的个数分别是5个、3个、4个、2个。,定义6:如果近似数a的绝对误差界是某个数位的一个单位,那么从
7、左边第一个非零数字起直到这个数位止,所有的数字都叫做近似数a的可靠数字。,由于去尾法和进一法所产生的近似数的绝对误差界通常是所截留的最后一个数位的一个单位。所以用进一法和去尾法得到的近似数通常从左边第一个非零数字起的所有数字都是可靠数字。,近似数a的有效数字一定是可靠数字;而可靠数字不一定是有效数字。,(2)整数形式的可靠数字和有效数字的表示,将25000.4152用四舍五入法截取到个位、十位、百位,得到的近似数都是25000,它们的有效数字应该分别是5个、4个、3个,这时如何区别?,通常情况下,对近似数我们用科学记数法来区分这种情形:,将25000.4152用四舍五入法截取到个位、十位、百位
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