高等数学下册chap2导数与微分2-4函数的微分.ppt
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1、,一、微分的概念,三、微分基本公式和运算法则,四、函数的局部线性化,二、函数可微性与可导性之间,第二节 函数的微分,的关系,五、微分的实际意义,正方形金属薄片受热后面积的改变量.,1.问题的引出,实例,线性函数(linear function),一、微分的概念,的线性(一次)函数,很小时可忽略.,的高阶无穷小,再如,既容易计算又是较好的近似值,?,一定条件,线性函数,对一般函数,则无论在理论分析上还是在实际,则函数的增量,可以表示为,如果存在这样的,近似公式,应用中都是十分重要的.,定义,2.微分的定义,如果,则称函数,可微(differentiable),记作,微分(differential
2、),并称,为函数,由定义知:,(微分的实质),定理,证,(1)必要性,即有,二、函数可微性与可导性的关系,(2)充分性,求导法又叫微分法,从而,其微分一定是,定理,即有,称为函数,的微分,记作,称为自变量的,微分,记作,例,解,几何意义,(如图),微分的几何意义,对应的增量,增量时;,是曲线的纵坐标,就是切线纵坐标,求法,1.基本微分公式,三、微分基本公式与运算法则,计算函数的导数,乘以自变量的微分.,2.运算法则,例,解,例,解,结论,微分形式的不变性,3.复合函数的微分法,此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算.,无论x 是自变量还是中间变量,函数,的微分形式总是,例,解,法一,用复合
3、函数求导公式,法二,用微分形式不变性,在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.,例,例,解,例,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,例,解,四、函数的局部线性化,由几何意义,,即用线性函数近似代替非线性函数,例,解,常用近似公式,证明,例,解,五、微分的实际意义,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,小结,从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念.,导数与微分的区别:,微分的基本思想,以直代曲,即用线性函数近似代替非线性函数,熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分,
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