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1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数自主学习 新知突破1掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹,人们纷纷研究这位传奇的“F1之王”研究发现,其除了超群的技术外,速度的调节也恰到好处,他不轻易使用刹车,在某个时间段内速度连续增加,在另一个时间段内速度则连续减少,呈现一定的规律性问题1在某个时间段内速度连续增加,若vf(t),那么f(t)是否为正呢?提示1f(t)0.问题2在某个时间段内速度连续减少,若vf(t),那么f(t)是否为负呢?提示2f(t)0单
2、调_f(x)0(f(x)0.2对导数法研究函数单调性的两点注意:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2,)B(,2)C(,0) D(0,2)解析:f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0得0 x2,所以f(x)的单调递减区间为(0,2)答案:D2设f(x)是函数f(x)的导函数,yf(x)的图象如下图所示,则yf(x)的图象最有可
3、能是()解析:由yf(x)的图象可知,当x2时,f(x)0;当0 x2时,f(x)0,函数yf(x)在(,0)和(2,)上为增加的,在(0,2)上为减少的答案:C3函数f(x)xln x的单调递增区间是_4已知函数f(x)x2axln x,aR.若函数f(x)在1,2上是减函数,求实数a的取值范围合作探究 课堂互动求函数的单调区间 思路点拨对(1),求导后,应注意a的讨论 (1)求函数单调区间的步骤:(2)含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论 1求下列函数的单调区间:(1)f(x)x36x;(2)f(x)3x22ln x.函数与导函数图象之间的关系设f(x)是函数f(x)的导函数,将yf(
4、x)和f(x)的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是() 思路点拨根据函数的单调性与其导数的正负之间的关系作判断解析:对于选项A,若曲线C1为yf(x)的图象,曲线C2为yf(x)的图象,则函数yf(x)在(,0)内是减函数,从而在(,0)内有f(x)0.因此,选项A符合题意同理,选项B,C也符合题意对于选项D,若曲线C1为yf(x)的图象,则yf(x)在(,)内应为增函数,与C2不相符;若曲线C2为yf(x)的图象,则yf(x)在(,)内应为减函数,与C1不相符答案:D(1)注意图形语言、符号语言之间的转化及应用在某个区间内f(x)0(或f(x)0)也就是f(x)的图象在x轴的上方(或下
5、方),则函数在该区间内是增函数(或减函数)(2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致2已知导函数f(x)的下列信息:当1x3时,f(x)3,或x0;当x1,或x3时,f(x)0.试画出函数f(x)图象的大致形状解析:如下图:当1x3时,f(x)3,或x0,可知f(x)在此区间内单调递增;当x1,或x3时,f(x)0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”综上,函数f(x)的图象的大致形状如上图所示已知函数单调性求参数范围由函数的单调性求参数的取值范围,这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围3若函数f(x)ax3x2x5在R上单调递增,求a的取值范围若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数,求实数m的取值范围【错因】没有考虑到f(x)0的情况f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,而非充要条件利用f(x)0(或f(x)0)求解后,要验证端点能否使f(x)恒等于0.谢谢观看!谢谢观看!