大学课件高等数学幂级数.ppt
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1、幂级数的运算幂级数的运算小结小结 思考题思考题 作业作业power series第三节第三节 幂幂 级级 数数幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性函数项级数的概念函数项级数的概念 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数11. .定义定义如如则则函数项级数函数项级数. .定义定义1 1幂幂 级级 数数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念为定义在为定义在(a, b)内内的函数序列的函数序列,称为定义在称为定义在(a, b)内内的的22. .收敛点与收敛域收敛点与收敛域若数项若数项级数级数收敛收敛(或发散或发散) 则称则称x0为函数项级数为函数项级数的收敛点的收敛点(或发散点或发散点). 函数项级数函数
2、项级数所有所有收敛点收敛点(或发散点或发散点) 称为其称为其收敛域收敛域 (或发或发定义定义2 2散域散域).幂幂 级级 数数33. .和函数和函数定义定义3 3为函数项级数为函数项级数则则s(x)称为函数项级数称为函数项级数和函数和函数. .的前的前n项和序列项和序列, 若极限若极限存在存在,幂幂 级级 数数如如, ,它的收敛域为它的收敛域为发散域为发散域为等比级数等比级数在在收敛域内收敛域内和函数和函数是是即有即有4函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注注函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是定义域定义域显然显然s(x)
3、的的定义域定义域就是就是级数的级数的收敛域收敛域.数项级数数项级数 的收敛问题的收敛问题.幂幂 级级 数数一般考虑函数一般考虑函数它的定义域是它的定义域是但只有在但只有在它才是它才是的和函数的和函数.5例例解解 由由比值比值(达朗贝尔达朗贝尔)判别法判别法(1) 当当 时时,原级数原级数(2) 当当 时时,原级数原级数绝对收敛绝对收敛;发散发散.求函数项级数的求函数项级数的收敛域收敛域.幂幂 级级 数数6级数为级数为条件收敛条件收敛级数为级数为发散发散总之总之,所讨论的级数的所讨论的级数的收敛域收敛域为区间为区间 把函数项级数中的变量把函数项级数中的变量x视为参数视为参数,(3) 通过常数通过
4、常数项级数的敛散性判别法项级数的敛散性判别法,哪些哪些 x 值发散值发散,些些 x 值收敛值收敛,来判定函数项级数对哪来判定函数项级数对哪这是确定函数项级数这是确定函数项级数收敛域的基本方法收敛域的基本方法.幂幂 级级 数数71.1.定义定义如下形式的函数项级数如下形式的函数项级数称为称为的的幂级数幂级数. .的的幂级数幂级数. .定义定义称为称为幂幂 级级 数数二、二、幂级数及幂级数及其收敛性其收敛性82. .收敛半径和收敛域收敛半径和收敛域级数级数幂幂 级级 数数收敛收敛;发散发散;收敛域收敛域发散域发散域9证证阿贝尔阿贝尔 (Abel)(挪挪威威) 18021829定理定理1 1 (阿贝
5、阿贝尔尔(Abel)定理定理)则它在则它在满足满足不等式不等式绝对收敛绝对收敛;发散发散.收敛收敛,发散发散,幂幂 级级 数数如果级数如果级数则它在满足不等式则它在满足不等式的一切的一切x处处如果级数如果级数的一切的一切x处处从而数列从而数列有界有界,即有常数即有常数 M 0,使得使得10幂幂 级级 数数由由(1)结论结论,这与定理所设矛盾这与定理所设矛盾.使级数收敛使级数收敛,则级数则级数时应收敛时应收敛,(反证反证)假设有一点假设有一点x1适适合合11推论推论也也不是在整个数轴上都收敛不是在整个数轴上都收敛,则则必有一个完全确必有一个完全确幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛;幂级数幂级数 发散
6、发散.幂级数幂级数可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散. .幂幂 级级 数数几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如果幂级数如果幂级数不是仅在不是仅在x = 0一点收敛一点收敛,定的正数定的正数R存在存在,它具有下列性质它具有下列性质:12正数正数R称为幂级数的称为幂级数的幂级数的幂级数的收敛域的开区间收敛域的开区间称为幂级数的称为幂级数的规定规定问问: :如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?定义定义收敛半径收敛半径. .收敛区间收敛区间. .幂幂 级级 数数(1)幂级数只幂级数只在在x = 0处收敛处收敛,无收敛区间,收敛域为无收敛区间,收敛域为(2)幂级
7、数对一切幂级数对一切 x 都都收敛收敛,收敛区间收敛区间而一般幂级数的而一般幂级数的收敛域可能为下列区间之一:收敛域可能为下列区间之一:13证证设设定理定理2 2 如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数幂幂 级级 数数由由比值审敛法比值审敛法,14收敛半径收敛半径幂幂 级级 数数收敛收敛,从而级数从而级数绝对收敛绝对收敛.发散发散,并且从某个并且从某个n开始开始从而级数从而级数发散发散. 比比值值审审敛敛法法15定理证毕定理证毕.幂幂 级级 数数收敛收敛,从而级数从而级数绝对收敛绝对收敛.收敛半径收敛半径必发散必发散.(否则由定理否则由定理1知将有点知将有点收敛半径收敛半径16例例 求下列幂
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