大学课件高等数学下学期9-31格林公式.ppt
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1、1/28第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用一、格林公式一、格林公式2/281. 区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, ,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、格林公式一、格林公式否则称为否则称为则称则称D为平面为平面复连通区域复连通区域. .成的部分都属于成的部分都属于D,如果如果D内任一简单闭曲线所围内任一简单闭曲线所围单连通区域单连通区域, ,3/28格林公式格林公式设设闭区域闭区域D由分段光滑的由分段光滑的曲线曲线L围成围成, ,在在D上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则有则有2. 格林公式格林公式公式公式(1)称称其中其中L是是 D的取的取正向正
2、向的边界曲线的边界曲线.格林公式格林公式. .4/28当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,(1) P、Q在闭区域在闭区域D上一阶偏导数的连续性上一阶偏导数的连续性; (2) 曲线曲线L是封闭的是封闭的, ,并且取正向并且取正向. .注注规定规定 边界曲线边界曲线L的的正向正向区域区域D总在他的总在他的左边左边. .5/28(1)先对简单区域证明先对简单区域证明:证明证明若区域若区域D既是既是又是又是即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和L至多交于两点至多交于两点.6/28同理可证同理可证7/28(2) 再对一般单连通区域证明再对一般单连通区域证明: :积分区域的可加性积分区域的
3、可加性积分区域的可加性积分区域的可加性 若区域若区域D由一条按段光由一条按段光(如图如图)将将D分成三个既是分成三个既是又是又是的区域的区域滑的闭曲线围成滑的闭曲线围成.8/289/28(3) 对复连通区域证明对复连通区域证明: :由由(2)知知 若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段则则D的边界曲线由的边界曲线由及及构成构成.所围成所围成. .GFCEAB10/28 便于记忆形式便于记忆形式:格林公式的实质格林公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与沟通了沿闭曲线的积分与二重积分二重积分11/28(1) 计算平面面积计算平面面积3. 简单应用简单应用格
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