大学课件高等数学对面积的曲面积分.ppt
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1、第四节第四节 对面积的对面积的曲面积分曲面积分surface integral第十章第十章第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法小结小结 思考题思考题 作业作业1实例实例解解 第一步第一步: : 将将分为许多分为许多极其微小的子域极其微小的子域,以以dS为为代表代表, ,dS的的质量为质量为: 第二步第二步: : 求和取极限求和取极限则则取取 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在
2、曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .光滑光滑的的,它的面密度为连续函数它的面密度为连续函数求它的质量求它的质量.对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入21. 定义定义函数函数 f(x, y, z)在在上上任意取定的点任意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的这和式的极限存在极限存在, 则则的的最大值最大值对面积的曲面积分对面积的曲面积分二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义 第第i 小块曲面的面积小块曲面的面积),作乘积作乘积设曲面设曲面是光滑的是光滑的,同时也表示同时也表示有界有界
3、.把把 任意分成任意分成n小块小块3或或记为记为即即如曲面是如曲面是曲面元素曲面元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成积分曲面积分曲面称称极限为函数极限为函数对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分. .闭曲面闭曲面, ,对面积的曲面积分对面积的曲面积分42. 存在条件存在条件在光滑曲面在光滑曲面上上今后今后, ,假定假定的曲面积分存在的曲面积分存在. .对面积对面积连续连续, ,对面积的曲面积分对面积的曲面积分3. 对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质5 补充补充设分片光滑的设分片光滑的x的奇函数的奇函数x的偶函数的偶函数其中其中则则曲面曲面关于关于yOz面
4、对称面对称, ,对面积的曲面积分对面积的曲面积分64. 对面积的曲面积分的几何意义对面积的曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面的面积的面积: :5. 对面积的曲面积分的物理意义对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数面密度为连续函数的质量的质量M为为:对面积的曲面积分对面积的曲面积分其质心坐标为其质心坐标为:7则则按照曲面的不同情况分为以下三种:按照曲面的不同情况分为以下三种:思想是思想是:化为二重积分计算化为二重积分计算. .(1)对面积的曲面积分对面积的曲面积分三、三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法8则则则则(2)(3)对面积的曲面积分对面积的曲面积分9确定投影域并写出确
5、定投影域并写出 然后算出曲面面积元素然后算出曲面面积元素; ;最后将曲面方程代入最后将曲面方程代入被积函数被积函数, ,对面积的曲面积分时对面积的曲面积分时, ,首先应根据首先应根据化为二化为二曲面曲面选好投影面选好投影面, ,曲面曲面的方程的方程, ,重积分进行计算重积分进行计算. .对面积的曲面积分对面积的曲面积分10例例解解投影域投影域:所截得的所截得的部分部分.故故对面积的曲面积分对面积的曲面积分二二重重积积分分的的对对称称性性对称性对称性11解解 依依对称性对称性知知例例抛物面抛物面有有对面积的曲面积分对面积的曲面积分被积函数被积函数为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.12极极坐坐
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