湖北省宜昌第一中学高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案无答案.doc
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1、 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(学案)2一、温故知新在物理学上,一个物体受到的力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功,其一般关系是什么?在数学上又是怎样理解呢?二、知识互动知识点一 向量的数量积1.已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把 叫做与的数量积(或内积),记作 ,即 = 2. 叫做向量在方向上(在方向上)的投影3. 的几何意义:数量积等于的长度 与在的方向上的投影 的乘积, 或的长度与在方向上投影 的乘积【疑难点拨】(1)两个向量的数量积是一个实数,并且规定 (2)当为锐角时,;当为钝角时,;当时, (3)向量数量积的几何意义是一个向量的长度
2、乘以另一个向量在其上的投影值,投影是个数量,不是向量,当为直角的时候是零,当为钝角的时候是负值知识点二 数量积的性质若、是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则1. 2. ; 3.若与同向,则= ;若与反向,则= ;特别地:= 或= 4.= 5.对任意两个向量,有,当且仅当 时等号成立【疑难点拨】(1)利用性质(2)可以解决有关两非零向量垂直的问题;由,则;反之,由,则(2)利用或可进行向量的数量积运算及向量与实数的转换知识点三 数量积的性质1. (交换律)2. = 3. 【想一想】向量数量积的运算律与多项式的运算律有何不同?三、典例探究例1已知 与的夹角,求例2我们知道,对任意的实数,恒有对任意向量,是否也有下面类似的结论?(1), (2).例3已知与的夹角,求例4.已知与不共线.为何值,向量与互相垂直?四、当堂检测1.已知向量与满足且2,则与的夹角为 ( )A. B. C. D. 2四边形ABCD中,则四边形ABCD是 ( )A. 直角梯形 B. 菱形C. 矩形 D. 正方形3设、是单位向量,且,则的最小值 ( )A. B. C. D. 4已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是
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