89全国高中数学联赛试题及解答.doc
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1、1989年全国高中数学联赛(10月15日上午8001000)一选择题(本题满分30分,每小题5分): 1若A、B是锐角ABC的两个内角,则复数 z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(,) B, C(,) D, 3对任意的函数y=f(x),在同一个直角坐标系中,函数y=f(xl)与函数y=f(x+l)的图象恒( ) A关于x轴对称 B关于直线x=l对称 C关于直线x=l对称 D关于y轴对称 4以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中,锐
2、角三角形的个数为( ) A0 B6 C8 D245若 M=z| z=+i,tR,t1,t0, N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost),tR,|t|1则MN中元素的个数为 A0 B1 C2 D46集合M=u|u=12m+8n+4l,其中m,n,lZN=u|u=20p+16q+12r,其中p,q,rZ的关系为AM=N BMN,NM CMN DNM 三填空题(本题满分30分,每小题5分)1若loga0,且 a=(aj)2求证:an=n第二试(上午10301230)一(本题满分35分)ABCEF已知 在ABC中,ABAC,A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E,过E作E
3、FAB,垂足为F求证 2AF=AB-AC 二(本题满分35分)已知xiR(i=1,2,n;n2),满足 |xi|=1,xi=0,求证: 三(本题满分35分)有nn(n4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个,现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表示成4k的形式,其中kZ)1989年全国高中数学联赛解答第一试一选择题(本题满分30分,每小题5分):1若A、B是锐角ABC的两个内角,则复数 z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在复平面
4、内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解:0A、B90A+BA90B0,sinAcosB,cosAsinB故cosBsinA0点Z位于第二象限选B 2函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(,) B, C(,) D, 解:因x1,1,故arctanx,arcsinx,且f(1)=,f(1)= 选D3对任意的函数y=f(x),在同一个直角坐标系中,函数y=f(xl)与函数y=f(x+l)的图象恒( ) A关于x轴对称 B关于直线x=l对称 C关于直线x=l对称 D关于y轴对称 解:令x1=t,则得f(t)=f(t),即f(t)关于t=0对称
5、,即此二图象关于x=1对称选B4以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中,锐角三角形的个数为( ) A0 B6 C8 D24 解:以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形其余的三角形都不是锐角三角形选C5若 M=z| z=+i,tR,t1,t0, N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost),tR,|t|1则MN中元素的个数为 A0 B1 C2 D4解:M的图象为双曲线xy=1(x0,x1)N的图象为x2+y2=2(x0),二者无公共点选A6集合M=u|u=12m+8n+4l,其中m,n,lZN=u|u=20p+16q+12r,其中p,q,rZ的关系为
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