量子力学期末考试题解答题.docx
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1、2012级量子力学期末考试试题和答案A卷一、简答与证明:(共25分)1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。 (4分) 2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。(4分)22i(px?xp)是厄密算符 (5分) xx4、证明?x之间的测不准关系。5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标x和动量p(6分)?B0,求 B?A?2?B?2?1,且A二、(15分)已知厄密算符A,B,满足A?、B?的矩阵表示; 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数; 2、在B表象中算符A3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
2、三、(15分)设氢原子在t?0时处于状态111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222,求?(r,0)?2和Lz的取值几率和平均值; 1、t?0时氢原子的E、L2和Lz的取值几率和平均值。2、t?0时体系的波函数,并给出此时体系的E、L四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符?1000C0?030?C00?H?00?200C? 由下面的矩阵给出H?(0)?H,C是一个常数,C1,用微扰公式求能量至二级修这里,H正值,并与精确解相比较。五、(10分)令SSx?iSy,SSx?iSy,分别求S?和S?作用于Sz
3、的本征态?10?11?012和2的结果,并根据所得的结果说明S?和S?的重要性是什么?一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:Aei(p?r?Et)?2、定态:定态是能量取确定值的状态。性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:11(q1)?2(q2)1(q2)?2(q1)?2。?A?222?x是厄密算符,所以xp?x,x?ip?x,xp?x?2?p?x,因为pi(px?xp)ip,x?ipxxx4、=22?x?xi(px?xp)是厄密算符。?,k是一个算符或普通的数。以、和?的对
4、易关系FG?F?Gik?和G5、设F?和k在态?中的平均值,令 ?FG, ?、GF,?G依次表示F2)?)?(?G(?F4,这个关系式称为测不准关系。 则有22?x之间的测不准关系为:坐标x和动量p?xxp?2?的本征值是?1,因为在A表象中,算符A2?1,所以算符A二、解1、由于A10(A)A?的矩阵是:?0?1? 的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符Ab11b12(A)Bbb?B0得:B?A?2122,利用A设在A表象中算符B的矩阵是00b120b12b12b211b21b122?1,所以?b210b2100b11?b22?0;由于B,?0?11b12b21;由于B?是厄密算符,B?B?
5、,b12b1200?b*121?*?b12b?112*0?b12?i?在A表象中的矩阵表示式为:b?e12令,其中?为任意实常数,得B0?(A)i?B?e?ei?0?0?A(B)?e?i?2、类似地,可求出在B表象中算符A的矩阵表示为:?0i?的本征方程为:e在B表象中算符Aei?0?ei?ei?i?0?,即?e?ei?0i?e?0?和?不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即 e?i?ei?02?1?01?A1?ei1?ei?A2?2?1?,对?1有:1? 对1有:1?ei1?ei的本征值是?1,本征函数为2?1?和2?1? 所以,在B表象中算符A1?ei1?ei的本征值是?1,本征函
6、数为2?1?和2?1? 3、类似地,在A表象中算符B?在A表象中的本征函数按列排从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B1?ei?S?21成的矩阵,即e?i1(n?1,2,3?)es21En2a0n2三、解: 已知氢原子的本征解为:?nlm(r,?,?)?Rnl(r)Ylm(?,?),将?(r,0)向氢原子的本征态展开,(r,0)1、=nlmc210(0)?cnlm(0)?nlm(r,?,?),不为零的展开系数只有三个,即11c(0)1c(0)?31021?12,2,显然,题中所给的状态并未归一2,4化,容易求出归一化常数为:5,于是归一化的展开系数为:c210(0)?1141c310(0)
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