1、2012级量子力学期末考试试题和答案A卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）22i(px?xp)是厄密算符 （5分） xx4、证明?x之间的测不准关系。5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p（6分）?B0，求 B?A?2?B?2?1，且A二、（15分）已知厄密算符A,B，满足A?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
2、三、（15分）设氢原子在t?0时处于状态111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222，求?(r,0)?2和Lz的取值几率和平均值； 1、t?0时氢原子的E、L2和Lz的取值几率和平均值。2、t?0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符?1000C0?030?C00?H?00?200C? 由下面的矩阵给出H?(0)?H，C是一个常数，C1，用微扰公式求能量至二级修这里，H正值，并与精确解相比较。五、（10分）令SSx?iSy，SSx?iSy，分别求S?和S?作用于Sz
3、的本征态?10?11?012和2的结果，并根据所得的结果说明S?和S?的重要性是什么？一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：Aei(p?r?Et)?2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：11(q1)?2(q2)1(q2)?2(q1)?2。?A?222?x是厄密算符，所以xp?x,x?ip?x,xp?x?2?p?x，因为pi(px?xp)ip,x?ipxxx4、=22?x?xi(px?xp)是厄密算符。?，k是一个算符或普通的数。以、和?的对
4、易关系FG?F?Gik?和G5、设F?和k在态?中的平均值，令 ?FG， ?、GF，?G依次表示F2)?)?(?G(?F4，这个关系式称为测不准关系。 则有22?x之间的测不准关系为：坐标x和动量p?xxp?2?的本征值是?1，因为在A表象中，算符A2?1，所以算符A二、解1、由于A10(A)A?的矩阵是：?0?1? 的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符Ab11b12(A)Bbb?B0得：B?A?2122，利用A设在A表象中算符B的矩阵是00b120b12b12b211b21b122?1，所以?b210b2100b11?b22?0；由于B，?0?11b12b21；由于B?是厄密算符，B?B?
5、，b12b1200?b*121?*?b12b?112*0?b12?i?在A表象中的矩阵表示式为：b?e12令，其中?为任意实常数，得B0?(A)i?B?e?ei?0?0?A(B)?e?i?2、类似地，可求出在B表象中算符A的矩阵表示为：?0i?的本征方程为：e在B表象中算符Aei?0?ei?ei?i?0?，即?e?ei?0i?e?0?和?不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 e?i?ei?02?1?01?A1?ei1?ei?A2?2?1?，对?1有：1? 对1有：1?ei1?ei的本征值是?1，本征函数为2?1?和2?1? 所以，在B表象中算符A1?ei1?ei的本征值是?1，本征函
6、数为2?1?和2?1? 3、类似地，在A表象中算符B?在A表象中的本征函数按列排从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B1?ei?S?21成的矩阵，即e?i1(n?1,2,3?)es21En2a0n2三、解： 已知氢原子的本征解为：?nlm(r,?,?)?Rnl(r)Ylm(?,?)，将?(r,0)向氢原子的本征态展开，(r,0)1、=nlmc210(0)?cnlm(0)?nlm(r,?,?)，不为零的展开系数只有三个，即11c(0)1c(0)?31021?12，2，显然，题中所给的状态并未归一2，4化，容易求出归一化常数为：5，于是归一化的展开系数为：c210(0)?1141c310(0)
7、?255，2W(E2,0)?421c21?1(0)?55， 242?55（1）能量的取值几率平均值为：?1232W(E3,0)?555，5，32E2?E355?2取值几率只有：W(2?2,0)?1，平均值L2?2?2 （2）L?（3）Lz的取值几率为：W(0?,0)?12322?W(,0)?Lz555，5 5，平均值ic(0)?(r,?,?)exp(?Ent)?nlmnlm?2、t?0时体系的波函数为：?(r,t)=nlmiiE2t)?c310(0)?310(r,?,?)exp(?E3t)12i2i?210(r,?,?)?21?1(r,?,?)exp(?E2t)?310(r,?,?)exp(?
8、E3t)55?5? ?c210(0)?210(r,?,?)?c21?1(0)?21?1(r,?,?)exp(?2和Lz皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，由于E、L与t?0时的结果是一样的。?I)?0?的本征值是方程det(H四、解：（1）H的根 C00?C30?(C?2)(?2?43?C2)00C?22?的精确解。 结果：C?2，2C，这是H(0)(1)(2)E?E?E?Ennnn（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：C 0，H220，H33由题设可知：能量的一级修正为：H11?H21H31?H12H13C20C2(2)E1?(0)?(0)(0)(0)E?EE?E1?3
9、1?(?2)2 1213对于二级修正，有：?H12H32?H21H23C20C2(2)E2?(0)?(0)?(0)(0)E2?E1E2?E33?13?(?2)222?H13H23?H31H32(2)CCE3?(0)?(0)?0E1?1?E2?3?(0)(0)E3?E1E3?E22，2，E32?C 所以，2将2C展开：113?C21?C221?2，?2?2， (C1)（3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。111?1i?1S?SxiSyi()02222222五、解：，2C2?2?(1?C2)12S111?1?i?11?SxiSyi()22222222111?1
10、i?11S?SxiSyi()22222222 111?1?i?1S?SxiSyi()02222222所以S?和S?分别作用于Sz的本征态S?10?11?2?0?和2?1?的结果是111111?0S?S?S?0222222，结果表明：称S?为自旋升算符是合理的，因为它将z方向的自旋从2增加到?2。同样，称S?为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从?2降到?2。S?和S?容许我们从Sz的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点
11、？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）?和坐标x的共同本征函数。4、在一维情况下，求宇称算符P（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）?B0，求 B?A?2?B?2?1，且A二、（15分）已知厄密算符A,B，满足A?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数； 2、在A表象中算符B3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）线性谐振子在t?0时处于状态?(x,0)?12122xexp(x)2?33，求 ，其中1、在t?0时体系能量的取值几率和平均值。2、t?0时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分
12、）当?为一小量时，利用微扰论求矩阵?120?2?23?0?33?2?的本征值至?的二次项，本征矢至?的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单篇二：080910203量子力学I期末考题(A)答案山东师范大学2014年期末考试试题(A)答案及评分标准（时间：120分钟共100分）课程编号：080910203 课程名称：量子力学 适用年级：2011 学制:四年 适用专业：物理学、光电 试题类别： A一、简答题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）1、在体系所处的某一个状态中测量不同的力学量，其测值概率分布是否相同？试举例说明。 答：在体系所处的状态中测量不同的力学量其测值概率分布是不一样的。 （2分） 比如某状态中测量出的坐标概率分布与动量概率分布可用不同函数来表示。 （3分） （给出其它合适的例子同样给分） 2、试讨论：若两算符对易，是否在所有态下它们都同时有确定值。答：对易算符可以有共同的本征态，在共同本征态下它们同时取确定值
