中小学数学公开课优质课件推选垂径定理.ppt
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1、 垂径定理垂径定理执教教师:XXX问题 :你知道:你知道赵州州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱拱桥, 是我国古代人民勤是我国古代人民勤劳与智慧的与智慧的结晶它的主晶它的主桥是是圆弧弧形形,它的跨度它的跨度(弧所弧所对的弦的的弦的长)为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离)为7.2m,你能求出你能求出赵洲洲桥主主桥拱的半径拱的半径吗? 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少? 实践探究实践探究把一个把一个圆沿着它的任意一条直径沿着它的任意一条直径对折,折,重复几次,你重复几次,你发现了什么?由此你能得到了什么?由此你能得到什么
2、什么结论?可以发现:可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴如图,如图,AB是是 O的一条弦,做直径的一条弦,做直径CD,使,使CD AB,垂足为,垂足为E(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?OABCDE活活 动动 二二(1)是轴对称图形直径)是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴(2) 线段:线段: AE=BE弧:,弧:,垂径定理:垂径
3、定理:垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. .OABCDECDAB, CD是直径是直径,AE=BE, AC =BC, AD=BD.符号语言符号语言图形语言图形语言(1)如何)如何证明?明?OABCDE已知:已知:如如图,CD是是 O的直径,的直径,AB为弦弦,且,且AE=BE.证明:明:连接接OA,OB,则OA=OB AE=BE CD AB AD=BD, 求求证:CD AB,且,且AD=BD, AC =BC AC =BC垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦(不是直径)(不是直径)的直径垂直于的直径垂直于弦弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条
4、弧。的两条弧。 CD AB, CD是直径,是直径, AE=BE AC =BC,AD =BD.OABCDE(2)“不是直径不是直径”这个条件能去掉个条件能去掉吗?如?如果不能,果不能,请举出反例。出反例。 平分弦平分弦(不是直径)(不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。OABCD1如图,在如图,在 O中,弦中,弦AB的长为的长为8cm,圆,圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm,求,求 O的半径的半径OABE练习练习解:解:答:答: O的半径为的半径为5cm.在在Rt AOE 中中 2如图,在如图,在 O中,中,AB、AC为互相垂直且相等的两为互相
5、垂直且相等的两条弦,条弦,ODAB于于D,OEAC于于E,求证四边形,求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明:证明:四边形四边形ADOE为矩形,为矩形,又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导:根据已知条件进行推导:过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧(1 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。(3 3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。)弦的垂直平分线经过
6、圆心,并且平分弦所对的两条弧。(2 2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.试一试试一试1.判断:判断:( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦
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