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1、两条直两条直线的位置关系的位置关系 -对称称问题 轴对称:如果两图形上的点一一对应,对应点的连线轴对称:如果两图形上的点一一对应,对应点的连线被某一定直线垂直平分,那么称此两个图形关于这条被某一定直线垂直平分,那么称此两个图形关于这条定直线成轴对称。此定直线叫做对称轴。定直线成轴对称。此定直线叫做对称轴。中心对称:如果两图形上的点一一对应,对应点的连线中心对称:如果两图形上的点一一对应,对应点的连线被某一定点平分,那么称此两个图形关于这个定点成中被某一定点平分,那么称此两个图形关于这个定点成中心对称。此定点叫做对称中心。心对称。此定点叫做对称中心。oA1B2C2A2B1C1MNL1(1)(2)
2、一、点关于点对称一、点关于点对称三、点关于直线对称三、点关于直线对称二、直线关于点对称二、直线关于点对称四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称最值问题最值问题反射问题反射问题两条直线的位置关系两条直线的位置关系 -对称对称四类对称四类对称常见运用常见运用1 1、点关于点的对称点问题、点关于点的对称点问题(1 1)点关于点对称的问题是最基本对称,)点关于点对称的问题是最基本对称,是解答其它对称问题的基础。是解答其它对称问题的基础。(2 2)点关于点对称的问题可以采用什么)点关于点对称的问题可以采用什么公式计算?公式计算?中点坐标公式中点坐标公式 是研究是研究点关于点对称的问题的重要思想。点关于
3、点对称的问题的重要思想。一般地一般地,点点A(x,y)关于点关于点M(m,n)对称的对称的点点B的坐标为的坐标为(2m-x,2n-y).例例1. 已知点已知点A(5,8) ,B(-4 ,1) ,试求,试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。知识运用与解题研究知识运用与解题研究一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点:中点坐标公式的运用解题要点:中点坐标公式的运用AC(x,y)ByxO得得C(-13,-6)-4=5+x 21=8+y 2(1)求点求点P(2,5)关于点关于点Q(-3,-7)的对称点的对称点.二二.直线关于点的对称直线关于点的对称 直线直线l:Ax+By+C=0
4、关于点关于点M(m,n)对称的直对称的直线线l1的方程为的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0. 例例2.求直线求直线m:2x+3y-1=02x+3y-1=0关于点关于点P(1,4)P(1,4)对称对称的直线的直线n n的方程的方程. .解解:(法一法一)直接代入上面结论直接代入上面结论 (法二法二)在直线在直线m上任取两点上任取两点A,B.则则A,B关于点关于点P的对称的对称点落在直线点落在直线n上上. (法三法三)使用直线关于点对称得到的直线与原直线平行,则对称使用直线关于点对称得到的直线与原直线平行,则对称点到两直线的距离相等的问题来解。点到两直线的距离相等的问题来解。一般地:曲
5、线一般地:曲线f(x,y)=0关于点关于点M(m,n)的对称曲线的对称曲线方程为方程为f(2m-x,2n-y)=0 特别地曲线特别地曲线f(x,y)=0关关于原点(于原点(0,0)的对称曲线方程为)的对称曲线方程为f(-x,-y)=0 .练习练习2. 求直线求直线l 1 : : 3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称的直线对称的直线l 2的方程。的方程。二、直线关于点对称二、直线关于点对称解题要点:解题要点: 法一:法一: l2上的任意一点的上的任意一点的对称点在对称点在l 1上上; 法二:法二: l1 l2 ,在直线在直线l 1 上任取一点上任取一点A.则则A关于点关于点P的对称点落
6、在的对称点落在直线直线 l 2上。上。 法三:法三: 点点P到两直线等距。到两直线等距。解解: 设设A(x,y)为为l2上任意一点上任意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在l1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-y-10=0A(x,y)l2l1yxOPA(4-x,-2-y)AA3 3、点关于直线的对称点问题、点关于直线的对称点问题(1 1)明确点)明确点A A关于直线关于直线l l对称的点对称的点A A之间之间的关系。的关系。(2 2)能够求出点关于直线对称之后得到)能够求出点关于直线对称之后得到的点的坐标。的点的坐标。l(3)理论依据理论依据
7、:A和和A的中点在直的中点在直线线l上上.例例2.已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,4),直线,直线l 的方的方 程为程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l 的的 对称点对称点A的坐标。的坐标。 三、点关于直线对称三、点关于直线对称解题要点:解题要点: k kAA = -1 AA中点在中点在l 上上 AAyxO-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0(x,y)(2,6)l解:解:二二.轴对称轴对称(即关于直线的对称即关于直线的对称)练习练习2.求点求点A(-7,1)关于直线关于直线l:2x-y-5=0的对称点的对称点B的坐标的坐标.解解(法一法一) 设设B
8、(m,n)由点关于直线对称的定义知由点关于直线对称的定义知: 线段线段ABl 即; =-1 线段线段AB被直线被直线l平分平分,即线段即线段AB的中点的中点在直线在直线l上上,故有故有 2 - -5=0 (一一)点关于直线的对称点关于直线的对称:联立联立 解得解得m=9 n= -7B(9,-7)注:注:当对称轴的斜率为当对称轴的斜率为1或对称轴与或对称轴与坐标轴垂直坐标轴垂直时可时可用上述方法直接求出对称点的坐标。用上述方法直接求出对称点的坐标。练习练习:已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,3),则,则A关于关于x轴轴、y轴、轴、 原点原点、直线直线 y=x、y=-x、y=x+1的对称点分别
9、是的对称点分别是_ _ _ _ _ _(-4,-3) (4,3)(4,-3)(3,-4)(-3,4)(2,-3)A(-4,3)xyo2、点关于特殊直线对称、点关于特殊直线对称例例4. 试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线l2:3x-y-1=0对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。 四、直线关于直线对称:四、直线关于直线对称:求直线关于直线对称的直线方程求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率;也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。利用求交点和斜率;也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。解题要点:求交点和特殊点。解题要点:求交点和特殊点。l1l2lx-y-2=03x-y
10、-1=0PP(-12,-52) 7x+y+6=0yxO解解:在直线在直线x-y-2=0上任取一点如上任取一点如A(2,0),则则A关关于直线于直线l2的对称点的对称点A1 (-1,1)落)落 在直线在直线l,求出直线求出直线l的方程。的方程。思考:若思考:若l1/l2, 如何求如何求l1 关于关于l2的对称直线方程的对称直线方程?设直线方程为设直线方程为f(x,y)=0则:则:直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线y=x对称的直线方程为对称的直线方程为f(y,x)=0直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线y=-x对称的直线方程为对称的直线方程为f(-y,-x)=0直线直线f(x,y)=0关
11、于直线关于直线y=x+b对称的直线方程为对称的直线方程为f(y-b,x+b)=0直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线y=-x+b对称的直线方程对称的直线方程 为为f(b-y,-x+b)=0直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线y=0(x轴)对称的直线方程为轴)对称的直线方程为f(x,-y)=0直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线x=0(y轴)对称的直线方程为轴)对称的直线方程为f(-x,y)=0直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线y=m对称的直线方程为对称的直线方程为f(x,2m-y)=0直线直线f(x,y)=0关于直线关于直线x=n对称的直线方程为对称的直线方程为f(2n-x,
12、y)=0特别地:当对称轴所在的直线与坐标轴垂直特别地:当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为或斜率为1时可用以下结论直接代入;时可用以下结论直接代入;练习练习1:和直线:和直线3x-4y+5=0关于关于y=x对称的直对称的直线的方程为线的方程为( )A、3x+4y-5=0 B、3y+4x+5=0 C、3x-4y+5=0 D、-3y+4x-5=0D填空填空:写出直线写出直线2x-3y+6=0(1)关于关于x轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_;(2)关于关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_;(3)关于原点对称的直线方程为关于原点对称的直线方程为_;(4)关于直线关于直线y=x对称的直线
13、方程为对称的直线方程为_;(5)关于直线关于直线y=-x对称的直线方程为对称的直线方程为_.2x+3y+6=02x+3y+6=02x+3y-6=02x+3y-6=02x-3y-6=02x-3y-6=02y-3x+6=02y-3x+6=02y-3x-6=02y-3x-6=0五、反射问题五、反射问题AB(5,8) (x,y)yxO A (10,-2)l(-2,4)y-4 22=-1x-2 2y+4 22-7=0AB:2x+y-18=0l:2x-y-7=0P(254,112)AP:2x-11y+48=0A六六 、最值问题、最值问题例例6.已知已知P在在x轴上,轴上,A(-3,1) ,B(7,2)且且PA+PB最小,则最小,则P的坐标是的坐标是_BAPyx(-3,-1)(7,2)3x-10y-1=0y=0(13,0)M MA-MB 最大最大= AB O(13,0)AP练习练习: 已知已知P在在x轴上,轴上,A(-3,1) ,B(5,-3)且且PA+PB最小,则最小,则P的坐标是的坐标是_ 最小值是最小值是_ A(-3,1)B(5,-3)Pyxx+2y+1=0y=0(-1,0)45A(-1,0)MO作业:作业:1.书书P101 A11 2.三维设计三维设计P56 题型三题型三