大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算.ppt
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1、1/46二重积分的几何意义二重积分的几何意义在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分的换元法二重积分的换元法小结小结2/46一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义曲顶柱体曲顶柱体 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,侧面以侧面以D的的3/46曲顶柱体体积曲顶柱体体积=特点特点D困难困难边界曲线为准线而母线平行于边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,顶是顶是曲面曲面且在且在D上连续上连续).曲顶曲顶顶是曲的顶是曲的柱体体积柱体体积 = 特点特点 分析分析平顶平顶 底面积底面积高高4/46 解决问题的思路、
2、步骤与解决问题的思路、步骤与曲边梯形面积的求曲边梯形面积的求法类似:法类似:化整为零、化整为零、 近似代替、近似代替、积零为整、积零为整、无限趋近无限趋近. .5/46(1) 化整为零化整为零分为分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积) .将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域相应地曲顶柱体相应地曲顶柱体(2) 近似代替近似代替第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点6/46(3) 积零为整积零为整(4) 无限趋近无限趋近)趋于零趋于零,求曲顶柱体体积的近似值求曲顶柱体体积的近似值令令n个子域的
3、直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记作记作上述和式的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.7/46(2)二重积分的几何意义二重积分的几何意义(3) (1)在在D上的上的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的. 这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,8/46例例 设设D为圆域为圆域二重积分二重积分=解解 上述积分等于上述积分等于由由二重积分的几何意义二重
4、积分的几何意义可知,可知,是上半球面是上半球面上半球体的体积:上半球体的体积:RD9/46二、在直角坐标系下计算二重积分二、在直角坐标系下计算二重积分(1) 积分区域积分区域为:为:其中函数其中函数 X型型在区间在区间 上连续上连续.10/46计算截面面积计算截面面积 ( 红色部分即红色部分即A(x0) )以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平行平行截面面积为已知截面面积为已知的立体求体积的立体求体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法是区间是区间为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.为底为底,曲线曲线
5、 11/46是区间是区间 为底为底,曲线曲线 为曲边为曲边 的曲边梯形的曲边梯形.有有:先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分. .12/46(2) 积分区域积分区域为:为:Y型型先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.13/46abdc 计算结果一样计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:但可作出但可作出适当选择适当选择.(4) 若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3
6、都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割.14/46 例例1 1解解1 将将D看成看成X型区域型区域15/46 例例1 1解解2 将将D看成看成Y型区域型区域D1D2第第一一种种方方法法计计算算量量小小16/46 例例4e-y2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联
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