2020届高考数学(理)一轮复习讲义高考专题突破4高考中的立体几何问题.docx
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1、高考专题突破四高考中的立体几何问题题型一平行、垂直关系的证明例1如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥EABC的体积.(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC.因为AB平面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,BCBB1B,所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1,取AB中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FGAC.
2、因为ACA1C1,且ACA1C1,所以FGEC1,且FGEC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.方法二如图2,取AC的中点H,连接C1H,FH.因为H,F分别是AC,BC的中点,所以HFAB,又因为E,H分别是A1C1,AC的中点,所以EC1AH,且EC1AH,所以四边形EAHC1为平行四边形,所以C1HAE,又C1HHFH,AEABA,所以平面ABE平面C1HF,又C1F平面C1HF,所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2,BC1,ABBC,所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.思维升华
3、(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练1如图,在底面是矩形的四棱锥PAB
4、CD中,PA底面ABCD,点E,F分别是PC,PD的中点,PAAB1,BC2.(1)求证:EF平面PAB;(2)求证:平面PAD平面PDC.证明(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).点E,F分别是PC,PD的中点,E,F,(1,0,0).,即EFAB,又AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.(2)由(1)可知,(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)(1,0,0)0,(0,2,0)(1,0,
5、0)0,即APDC,ADDC.又APADA,AP,AD平面PAD,DC平面PAD.DC平面PDC,平面PAD平面PDC.题型二立体几何中的计算问题命题点1求线面角例2(2018浙江)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC120,A1A4,C1C1,ABBCB1B2.(1)证明:AB1平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.方法一(1)证明由AB2,AA14,BB12,AA1AB,BB1AB,得AB1A1B12,所以A1BABAA,故AB1A1B1.由BC2,BB12,CC11,BB1BC,CC1BC,得B1C1.由ABB
6、C2,ABC120,得AC2.由CC1AC,得AC1,所以ABB1CAC,故AB1B1C1.又因为A1B1B1C1B1,A1B1,B1C1平面A1B1C1,所以AB1平面A1B1C1.(2)解如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1平面A1B1C1,得平面A1B1C1平面ABB1.由C1DA1B1,平面A1B1C1平面ABB1A1B1,C1D平面A1B1C1,得C1D平面ABB1.所以C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1,A1B12,A1C1,得cosC1A1B1,sinC1A1B1,所以C1D,故sinC1AD.因此直线AC1与平面ABB1所成
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