1、高考专题突破四高考中的立体几何问题题型一平行、垂直关系的证明例1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积.(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因为AB平面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1，取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.
2、因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HFAB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1AH，且EC1AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.思维升华
3、(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练1如图，在底面是矩形的四棱锥PAB
4、CD中，PA底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).点E，F分别是PC，PD的中点，E，F，(1,0,0).，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)由(1)可知，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,
5、0)0，即APDC，ADDC.又APADA，AP，AD平面PAD，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.题型二立体几何中的计算问题命题点1求线面角例2(2018浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.方法一(1)证明由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得AB1A1B12，所以A1BABAA，故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，得B1C1.由ABB
6、C2，ABC120，得AC2.由CC1AC，得AC1，所以ABB1CAC，故AB1B1C1.又因为A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.(2)解如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.由AB1平面A1B1C1，得平面A1B1C1平面ABB1.由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1，得C1D平面ABB1.所以C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1，A1B12，A1C1，得cosC1A1B1，sinC1A1B1，所以C1D，故sinC1AD.因此直线AC1与平面ABB1所成
7、的角的正弦值是.方法二(1)证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，0)，B(1,0,0)，A1(0，4)，B1(1,0,2)，C1(0，1).因此(1，2)，(1，2)，(0,2，3).由0，得AB1A1B1.由0，得AB1A1C1.又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.(2)解设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知(0,2，1)，(1，0)，(0,0,2).设平面ABB1的一个法向量为n(x，y，z).由得可取n(，1,0).所以sin |
8、cos，n|.因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.思维升华(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.(2)若直线l与平面的夹角为，直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹角为，则或，故有sin |cos |.跟踪训练2在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点.(1)证明：A1C平面DEF；(2)若A1CEF，求直线A1C1与
9、平面DEF所成的角的正弦值.解(1)如图，连接AB1，A1B交于点H，设A1B交EF于点K，连接DK，因为四边形ABB1A1为矩形，所以H为线段A1B的中点.因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以点K为线段BH的中点，所以A1K3BK.又CD3BD，所以A1CDK.又A1C平面DEF，DK平面DEF，所以A1C平面DEF.(2)连接CE，EH，由(1)知，EHAA1，因为AA1平面ABC，所以EH平面ABC.因为ABC为正三角形，且点E为棱AB的中点，所以CEAB.故以点E为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.设AB4，AA1t(t0)
10、，则E(0,0,0)，A1(2，t,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2)，F，D，所以(2，t,2)，.因为A1CEF，所以0，所以(2)(2)t200，所以t2，所以(2，0)，.设平面DEF的一个法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则n(1，).又(2,0,2)，设直线A1C1与平面DEF所成的角为，则sin |cosn，|，所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为.命题点2求二面角例3(2018呼和浩特联考)如图，在四棱锥ABCDE中，平面BCDE平面ABC，BEEC，BC2，AB4，ABC60.(1)求证：BE平面ACE；(2)若直线CE与平面ABC所成的角为45，求二面
11、角EABC的余弦值.(1)证明在ACB中，由余弦定理得cosABC，解得AC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因为平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，AC平面ABC，所以AC平面BCDE.又BE平面BCDE，所以ACBE.又BEEC，AC，CE平面ACE，且ACCEC，所以BE平面ACE.(2)解方法一因为直线CE与平面ABC所成的角为45，平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，所以BCE45，所以EBC为等腰直角三角形.取BC的中点F，连接EF，过点F作FGAB于点G，连接EG，则EGF为二面角EABC的平面角.易得EFBF1，FG.在RtEFG中，由
12、勾股定理，得EG，所以cosEGF，所以二面角EABC的余弦值为.方法二因为直线CE与平面ABC所成的角为45，平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，所以BCE45，所以EBC为等腰直角三角形.记BC的中点为O，连接OE，则OE平面ABC，以O为坐标原点，分别以OB，OE所在直线为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,2，0)，B(1,0,0)，E(0,0,1)，所以(2,2，0)，(1,0,1).设平面ABE的法向量m(x，y，z)，则即令x，则m(，1，)为平面ABE的一个法向量.易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)，所以cosm，易知二面角EABC为锐角
13、，所以二面角EABC的余弦值为.思维升华(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.跟踪训练3如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)证明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60，求二面角BOB1C的余弦值.(1)证明A1O平面ABCD，BD平面ABCD，A1OBD.四边形ABCD是菱形，COBD.A1OCOO，A1O，CO平面A1CO，BD平面A1CO.BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB1D1D.(2)解A1O平面ABCD，COBD，OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.AB2，AA13，BAD60，OBOD1，OAOC，OA1.则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0，0，)，
