1、高等数学专业年级学号姓名一、判断题. 将或填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（ ）1. 收敛的数列必有界.（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.（ ）3. 闭区间上的间断函数必无界.（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ ）5. 若在点可导，则也在点可导.（ ）6. 若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.（ ）7. 若在上可积，则在上连续.（ ）8. 若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（ ）10. 设偶函数在区间内具有二阶导数，且 , 则为的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设，
2、则.2. 若，则.3. 设单调可微函数的反函数为, 则.4. 设, 则.5. 曲线在点切线的斜率为.6. 设为可导函数,则.7. 若则.8. 在0,4上的最大值为.9. 广义积分.10. 设D为圆形区域.三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算.2. 求在（0，+）内的导数.3. 求不定积分.4. 计算定积分.5. 求函数的极值.6. 设平面区域D是由围成，计算.7. 计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明： .2. 设在闭区间上连续，且证明：方程在区间内有且仅有一个实根.高等数学参考答案一、判断题. 将或填入相应的括号
3、内（每题2分，共20分）1. ；2. ；3.； 4. ；5.； 6. ；7. ；8. ；9. ；10.二、 填空题.（每题2分，共20分）1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.；5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为且 ，=0由迫敛性定理知： =02.解：先求对数3.解：原式=24.解：原式=4/55.解：故 或当 时， 且A=（0，0）为极大值点 且当 时， ，无法判断6.解：D= = =7.解：令，；则，8.解：令 ，知由微分公式知：四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设=0令 即：原式成立
4、。2.解：上连续且 0故方程在上至少有一个实根.又即 在区间上单调递增在区间上有且仅有一个实根.高等数学专业学号姓名一、判断题（对的打，错的打；每题分，共分）1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.2. 若在点不可导，则曲线在处一定没有切线.3. 若在上可积，在上不可积，则在上必不可积.4. 方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5. 设是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题分，共分）1. 设则.2. 设，当时，在点连续.3. 设，则.4. 已知在处可导，且，则.5. 若，并且，则.6. 若在点左连续，且 ，则
5、与大小比较为7. 若，则；.8. 设，则.9. 设，则.10. 累次积分化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）1. ; 2. 设，求; 3. ;4. ; 5. 设, 求.6. 求由方程所确定的函数的微分.7. 设平面区域是由围成，计算.8.求方程在初始条件下的特解.四、（分）已知在处有极值，试确定系数、，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题分，共分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元.问轮船的速度为多少时,每航行所消耗的费用最小？2.过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲
6、线所围成图形的面积；（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（分）设函数在上的二阶导数存在，且,.证明在上单调增加.高等数学参考答案一、判断题1.；2.；3.；4.；5.二、填空题1. 36；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.三、计算题1.原式2.3原式=4设则原式=56两边同时微分得：即故（本题求出导数后，用解出结果也可）78原方程可化为通解为代入通解得故所求特解为：四、解：因为在处有极值，所以必为驻点故又解得：于是由得，从而，在处有极小值，在处有极大值五、1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为又时，故得，所以有，令，得驻点由极值第一充分条件检验得是极小值点.由于在
7、上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元）2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，又因为上的切线斜率满足，在上即有所以，即又因为满足，解方程组得所以切线方程为则所围成图形的面积为：（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为：六、证：在上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得代入上式得由假设知为增函数，又，则,于是,从而，故在内单调增加.高等数学试卷专业学号姓名一、填空题（每小题1分，共10分）1函数的定义域为_。2函数上点（，）处的切线方程是_。3设在可导且，则_。4设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线
8、的方程是_。5_。_。7设，则_。8累次积分化为极坐标下的累次积分为_。9微分方程的阶数为_。10设级数发散，则级数_。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（110每小题1分，1117每小题2分，共24分）1设函数，则（）2时，是（）无穷大量无穷小量有界变量无界变量3下列说法正确的是（）若在连续，则在可导若在不可导，则在不连续若在不可微，则在极限不存在若在不连续，则在不可导4若在内恒有，则在内曲线弧为（）.上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧5设，则（）为常数为常数6（）7方程在空间表示的图形是（）平行于面的平面平行于轴的平面过轴的平面直线
9、8设，则（）9设，且，则级数（）在时收敛，时发散在时收敛，时发散在时收敛，时发散在时收敛，时发散10方程是（）一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程可分离变量的微分方程二阶微分方程11下列函数中为偶函数的是（）12设在可导，则至少有一点使（）13设在的左右导数存在且相等是在可导的（）充分必要的条件必要非充分的条件必要且充分的条件既非必要又非充分的条件14设，则，则（）15过点（，）且切线斜率为的曲线方程为（）44416设幂级数在（）收敛，则在（）绝对收敛条件收敛发散收敛性与有关17设域由所围成，则（）；.三、计算题（13每小题5分，49每小题6分，共51分）设求.求.计算.设，求.求过点（，），（
10、，）的直线方程.设，求.计算.求微分方程的通解.将展成的幂级数.四、应用和证明题（共15分）（分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为）求速度与时间的关系。（分）借助于函数的单调性证明：当时，。高等数学参考答案一、填空题（每小题1分，共10分）（，）2（）三阶发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，110每小题1分，1117每小题2分，共24分）1234567891011121314151617三、计算题（13每小题5分，49每小题6分，共51分）1解：解：原式解：原式-解：因为解：所求直线的方向数为，所求直线方程为解
11、：解：原积分解：两边同除以得两边积分得亦即所求通解为解：分解，得（且）（）四、应用和证明题（共分）解：设速度为，则满足解方程得由t=0定出，得证：令则在区间，连续而且当时，因此在，单调增加从而当时，即当时，高等数学专业学号姓名一、判断正误（每题2分，共20分）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.3.在点连续，则在点必定可导.4.若点为的极值点，则必有.5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.6.方程表示一个圆.7.若在点可微，则在点连续.8.是二阶微分方程.9.10.若为连续函数，则必定可导.二、填空题（每题4分，共20分）.设，且，则.，则.三、计算题与证明题（共计60分）.，（5分）；，（5分）。.求函数的导数。（10分）.若在上.证明：在区间和上单调增加.（10分）.对物体长度进行了次测量，得到个数。现在要确定一个量，使之与测得的数值之差的平方和最小.应该是多少？（10分）.计算.（5分）6.由曲线与两直线所围成的平面图形的面积是多少.（5分）.求微分方程满足条件的特解。（5分）.计算二重积分是由圆及围成的区域.（5分）高等数学参考答案一、判断正误（每题2分，共20分）1-5，. 6-10.，.二、填空题（每题4分，共20分）；.三、计算题与证明题。（共计60分）.=2.令则同理3.=令则则当时当时故命题成立。4.令
