1、数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念执教教师：执教教师：XXXXXX一、数的发展史被被“数数”出来的自然数出来的自然数 远古的人类，为了统计捕获的野远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，兽和采集的野果， 用划痕、用划痕、 石子、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数造了自然数1、2、3、4、5、自然自然数是现实世界最基本的数量，是全数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地部数学的发源地 古代印度人最早使用了古代印度人最早使用了“0”.被被“分分”出来的分出来的分数数 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数随着生产、生活的需要，人们
2、发现，仅仅能表示整数是远远不行的是远远不行的.分数的引入分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾.如果分配猎获物时，如果分配猎获物时，2个人分个人分1件东西，每个人应该得多少呢？件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就产生了于是分数就产生了.被被“欠欠”出来的负出来的负数数 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数要，人类引进了负数 负数概念最早产生于我国负数概念最早产生于我国， 东汉东汉初期的初期的“九章算术九章算术”中就有负数的说法公元中就有负数的说法公元3世纪，刘世纪，刘徽在注解徽在注解“
3、九章算术九章算术”时，明确定义了正负数：时，明确定义了正负数：“两算两算得失相反，要令正负以名之得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则了正负数的加减法运算法则 千年之后，千年之后， 负数概念才经负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。由阿拉伯传人欧洲。负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.被被“推推”出来的无理出来的无理数数 2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都世间任何数都可以用整数或分数表示可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条.有一有
4、一天天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为边长为1的正方的正方形的对角线是个奇怪的数形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究于是努力研究, 终于证明出终于证明出它不它不能用整数或分数表示能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了
5、开方开不尽的矛盾无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾. .*自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数数数数数 系系系系 的的的的 扩扩扩扩 充充充充负整数负整数分数分数无理数无理数 在有理数集中方程在有理数集中方程 有解吗有解吗? ? 可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留算规则在新数集中得到了保留*加加除除乘乘减减实数实数解方程解方程 ？ 我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满
6、足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。* 为了解决负数开平方问题，为了解决负数开平方问题，数学家数学家数学家数学家大胆大胆大胆大胆引入一个引入一个引入一个引入一个新新新新数数数数 i i ，把，把，把，把 i i 叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：问题解决问题解决:(2)实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算进行四则运算进行四则运算, ,在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时, ,原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运
7、算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律( (包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律) )仍然成立仍然成立仍然成立仍然成立. .(1) 1 1 ；*动动 动动 手手下列这些数与虚数单位下列这些数与虚数单位下列这些数与虚数单位下列这些数与虚数单位i i i i经过了哪些运算？经过了哪些运算？经过了哪些运算？经过了哪些运算？*定义：定义：把形如把形如a+bi的数叫做的数叫做复数复数 （a,b 是实数）是实数） 虚数虚数单位单位复复 数数 的的 概概 念念复数全体组成的集合叫复数全体组成的集合叫复数集复数集， 记作：记作：
8、C实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部*自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数？负整数负整数分数分数无理数无理数数数数数 系系系系 的的的的 扩扩扩扩 充充充充复数复数虚数虚数*实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部其中其中 称为虚数单位。称为虚数单位。复数的分类？复数的分类？讨论讨论观察复数的代数形式观察复数的代数形式当当当当a=_a=_且且且且b=_b=_时，则时，则时，则时，则z=0z=0当当当当b=_b=_时，则时，则时，则时，则z z为实数为实数为实数为实数当当当当b_b_时，则时，则时，则时，则z z为虚数为虚数为虚数为虚数当当当当a=_a=_且且且且b_ b_ 时，则时，则时，则时，则z
9、 z为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数000000*1、若、若a=0,则则z=a a+ +b bi (i (a a R R、b b R R) )为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数. .2、若、若z=a a+ +b bi (i (a a R R、b b R R) )为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数,则则a=0. .判判断断（假）（假）（真）（真）故故a=0是是z=a a+ +b bi (i (a a R R、b b R R) )为纯虚数的为纯虚数的为纯虚数的为纯虚数的 条件条件条件条件. .必要不充分必要不充分*思考思考 复数集与实数集、虚数集、纯虚数集复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系
10、？之间有什么关系？*1、复数、复数z=a+bi 复数的分类复数的分类复数的分类复数的分类2. 复数集、虚数集、实数集、复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系纯虚数集之间的关系*想一想想一想 如果两个复数相等，那么它们应满如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？足什么条件呢？*如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这么我们就说这两个复数相等两个复数相等. .即即复数相等复数相等知新知新 两个两个虚数虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相不能比较大小，只能由定义判断它们相 等或不相等。等或不相等。*若若思考思考*1.若若 2-3i=a-3i,求求
11、 实实 数数a的的 值值 ；2.若若8+5i=8+bi,求求 实实 数数b的的 值值 ；3.若若4+bi=a-2i，求求实实数数a,b的的值值。说一说说一说*0实部实部虚部虚部分类分类虚数虚数例例 1: 1: 完成下列表格（分类一栏填完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或实数、虚数或纯虚数纯虚数）2-3虚数虚数00实数实数06纯虚纯虚数数-10实数实数*实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？解解：（：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当
12、，且，且 ，即，即 时，复时，复 数数 z 是纯虚数是纯虚数例例 2: 2: *变式训练变式训练: :当实数当实数m m为何值时，复数为何值时，复数 是是 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数* 已知已知已知已知 ， 其中其中其中其中 求求求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组得得得得例例 3: 3: 当堂检测当堂检测1.以以3i-2的虚部为实部，以的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的实部为虚部的复数是的复数是 （ ） A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i2.若复数若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数a的的值为值为_。3.复数复数4-3a-a2i与复数与复数a2+4ai相等，则实数相等，则实数a的值的值为为_。*若方程至少有一个实数根，求实数若方程至少有一个实数根，求实数m的取值范围的取值范围*课堂小结课堂小结虚数的引入虚数的引入复复 数数 z = a + bi(a,bR)复数的分类复数的分类当当b=0时时z为实数为实数;当当b 0时时z为虚数为虚数(此时此时,当当a =0时时z为纯虚数为纯虚数).复数的相等复数的相等a+bi=c+di(a, b,c,d R) a=cb=d谢谢观看谢谢观看请指导请指导
