1、一维随机变量及其概率分布一维随机变量及其概率分布第二章第二章 n随机变量的概念与分布函数随机变量的概念与分布函数n一维连续型随机变量一维连续型随机变量n一维离散型随机变量一维离散型随机变量n一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 概率测度概率测度P P是事件域是事件域F F到实数集到实数集R R的映射，的映射，它不是经典函数，为了有效的使用数学工它不是经典函数，为了有效的使用数学工具，我们把基本事件具，我们把基本事件换成数，进而把事换成数，进而把事件的概率用随机变量的分布函数来表示，件的概率用随机变量的分布函数来表示，这样就需要引入随机变量的概念。这样就需要引入随机变量的概念。2.1 随
2、机变量及其分布Random Variable and Distribution随机变量随机变量n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化, ,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示. .例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示例如例如: 掷硬币试验掷硬币试验, 其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反反面面” 来表示的来表示的可规定可规定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反反面朝上面朝上”Random Varia
3、blen 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化数量化例例 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白个白 球；从中任意抽取球；从中任意抽取2 2个个, ,观察抽球结果。观察抽球结果。取球结果为取球结果为: : 两个白球两个白球; ;两个红球两个红球; ;一红一白。一红一白。 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系如果用如果用X X表示取得的红球数表示取得的红球数，则，则X X的取值可为的取值可为0 0，1 1，2 2。此时，此时， “两只红球两只
4、红球”= = “X X取到值取到值2 2”, , 可记为可记为 XX=2=2 “一红一白一红一白”记为记为 XX=1=1 , , “两只白球两只白球”记为记为 XX=0=0.试验结果的数量化试验结果的数量化随机变量的定义随机变量的定义 1) 它是一个变量，它的取值随试验结果而改变它是一个变量，它的取值随试验结果而改变 2) 随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件n随机变量随机变量n随机变量的两个特征随机变量的两个特征: :设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与
5、与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间 上的随上的随机变量机变量( (样本点的函数样本点的函数) )。某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.Y.在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X.X X 的可能取值为的可能取值为 0,+0,+ ) )Y Y 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取值为的可能取值为 00，11上的全体实数。上的全体实数。n例例例例随机变量的实例随机变量的实例如何给出严格的数学定义？如何给出严格的数学定义？ 正如对随
6、机事件一样，我们所关心的不正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是实验会出现什么结果，更重要的是要仅是实验会出现什么结果，更重要的是要知道这些结果将以什么样的概率出现。知道这些结果将以什么样的概率出现。 即对随机变量我们不但要知道它取什么即对随机变量我们不但要知道它取什么值，而且要知道它取这些值的概率。值，而且要知道它取这些值的概率。两种不同类型的随机变量两种不同类型的随机变量实验结果有限或者至多可列个，我们能把实验结果有限或者至多可列个，我们能把可能结果一一列举出来，这种类型的随机可能结果一一列举出来，这种类型的随机变量称为变量称为离散型随机变量离散型随机变量。 如：如：1 古典型概率古典型概
7、率，把每个结果对应一个数，把每个结果对应一个数值，则得到一个离散型随机变量。值，则得到一个离散型随机变量。 2 n次伯努里试验中，若以次伯努里试验中，若以记事件记事件A出现出现的次数的次数，则，则可取：可取：0，1，2，n 一般的，对于定义在一般的，对于定义在 上的离散型随机变量上的离散型随机变量 只要指出它的取值：只要指出它的取值： 以及取这些值的概率以及取这些值的概率就满足我们的要求了。就满足我们的要求了。所以必须要求所以必须要求 的概率。而我们只的概率。而我们只对事件域对事件域 中的集合定义概率，所以必须有中的集合定义概率，所以必须有 与离散型随机变量不同的是与离散型随机变量不同的是连续
8、随机变量连续随机变量，一些随机现象所出现的实验结果可能不止一些随机现象所出现的实验结果可能不止可列个，如：测量误差，降水量，分子运可列个，如：测量误差，降水量，分子运动。动。 此时，描述实验结果的随机变量还是样本此时，描述实验结果的随机变量还是样本点点 的函数：严格写应该是的函数：严格写应该是 ，其中，其中 , 但这些随机变量能取某个区间但这些随机变量能取某个区间 或者实数的全体值。或者实数的全体值。1 此时不能用离散型随机变量的方法来描述此时不能用离散型随机变量的方法来描述这一随机变量；首先不能一一列出，其次这一随机变量；首先不能一一列出，其次取连续值的随机变量，它取某个值的概率取连续值的随
9、机变量，它取某个值的概率常常是常常是0.2 取连续值的随机变量我们关心的不是它取取连续值的随机变量我们关心的不是它取某个特定值的概率，而是取值于某个区间某个特定值的概率，而是取值于某个区间的概率的概率.如：如：误差小于某个数的概率，降水量在误差小于某个数的概率，降水量在100毫毫米到米到120毫米间的概率毫米间的概率.因此，要求我们求因此，要求我们求 或或 的概的概率，但既然我们只对率，但既然我们只对 中的事件才定义概率中的事件才定义概率,自然要求上述集合都属于事件域自然要求上述集合都属于事件域 。由上讨论，为了使我们感兴趣的概率计算得由上讨论，为了使我们感兴趣的概率计算得以进行，我们应对以进
10、行，我们应对 加上一定的限制，主加上一定的限制，主要要求要要求为此引入下面的定义：为此引入下面的定义： 定义：定义：设设 为概率空间，映射为概率空间，映射满足：满足：则称则称 为为随机变量随机变量，随机变量，随机变量 的的分布函数分布函数定义为定义为由定义：由定义： 分布函数的性质分布函数的性质定理定理 分布函数分布函数 具有下列性质：具有下列性质：(1)单调性：若单调性：若 ，则，则(2) (3) 右连续性：右连续性：证明证明:(1)(2)由于由于 的单调性：的单调性：存在存在. 又因为又因为 所以所以(3) 由于由于 是单调函数，只需证明对一列单是单调函数，只需证明对一列单调下降数列调下降
11、数列成立成立 即可即可因为因为所以所以注：注：12 分布函数的三个基本性质刚好对应于概率分布函数的三个基本性质刚好对应于概率的三个基本性质。的三个基本性质。是不是某一随机变量的分布函数是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 函数函数 可作为分布函数可作为分布函数综上，分布函数是一种分析性质良好的函综上，分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理，而且给定了分布函数就可数，便于处理，而且给定了分布函数就可以算出各种事件的概率，因而引进分布函以算出各种事件的概率，因而引进分布函数使许多概率问题得以简化为函数的运算，数使许多概率问题得以简化为函数的运算，这样就能利用数学分析的许多结果，这就
12、这样就能利用数学分析的许多结果，这就是引入随机变量的好处之一。是引入随机变量的好处之一。离散型随机变量离散型随机变量如随机变量的取值只有如随机变量的取值只有有限个或可列多个有限个或可列多个（可数）（可数），则称它为则称它为离散型随机变量离散型随机变量。一维离散型随机变量一维离散型随机变量 设离散型随机变量设离散型随机变量 的全部取值为的全部取值为 则称上式为则称上式为X的概率分布律。也可写作的概率分布律。也可写作：离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列称为称为 的的分布列分布列或或性质性质1 2 注：此时分布函数为注：此时分布函数为且且例 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(
13、0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3分布律确定概率解：解： =P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)求分布律举例求分布律举例 例例 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意件次品，从中任意抽取抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品数表示取得的次品数，求随机变量，求随机变量X X的的分布律及事件分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解解：X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)P(X=1)P(X=2)=P(只有一件为次品只有一件为次品)P(X=0)故故
14、X X的分布律为的分布律为而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=X1X1 =X=1X=1 X=2X=2 P(X1)= P(X=1)+P(X=2)P(X1)= P(X=1)+P(X=2)注意：注意： X=1X=1 与与 X=2X=2 是互不相容的是互不相容的！ 实际上，这仍是实际上，这仍是古典古典概型的计算题，只是表达事件概型的计算题，只是表达事件的方式变了的方式变了。故故 从一批次品率为从一批次品率为从一批次品率为从一批次品率为p p p p的产品中，有放回抽样直的产品中，有放回抽样直的产品中，有放回抽样直的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数到抽到次品为止。求抽
15、到次品时，已抽取的次数到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X X X X的分布律。的分布律。的分布律。的分布律。 解解: : 记记A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 则则 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3, 是相互独立的！且是相互独立的！且X X的的所有所有可能取值为可能取值为 1 1，2 2，3 3， ,k, ,k,P(X=k)=P(X=k)=(1-(1-p)p)k-1k-1p ,k=1,2,p ,k=1,2, X=k X=k 对应着事件对应着事件 例例设随机变量设随机变量
16、X的分布律为的分布律为试确定常数试确定常数b.解:由分布律的性质由分布律的性质,有有例2.8 0.2 0.3 0.5 P 1 2 3 X解解：几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布n0-10-1分布分布分布分布( (二点分布二点分布二点分布二点分布 ) ) 1p p P 0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布.背景背景：样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描述。描述。如：上抛一枚硬币。如：上抛一枚硬币。 定义：定义：定义：定义： 若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为: :例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1 1”代表取得红球，代表取得红球，“0 0”代表取得代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量随机变量其概率分布为其概率分布为 ，即即X X服从两点分布。服从
