1、专题 双变量不等式的证明1. 已知函数，（）设（其中是的导函数），求的最大值；（）求证: 当时，有；2. 已知函数（1）试求函数的单调区间和极值（2）若 直线与相交于不同两点，若 证明：.3. 已知函数.（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）当时，试比较与的大小.4. 已知函数，当时，函数取得极大值.（1）求实数的值；（2）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；5. 已知函数.（）讨论的单调性；（）若恒成立，证明：当时，.6. 已知函数，其中为大于零的常数（
2、）讨论的单调区间；（）若存在两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.7. 已知函数f（x）x2+2alnxbx（a0）（）若a1，b3，求函数yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x1）f（x2）0，且x1x2，证明：f（）08. 已知函数(1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，证明：9. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：1.解：(),，当时，；当时，因此，在上单调递增，在上单调递减因此，当时，取得最大值； （）当时，由（1）知：当时，即因此，有 2. 答案如下3
3、.解：（1）因为，所以，由令，可得在上递减，在上递增，所以，即 (2)若，令当，当，所以时取得极小值即最小值而当时 ，必有根，必有极值，在定义域上不单调.所以 （3）由（1）知在上单调递减所以时，即而时，所以，所以 4.答案如下5. 解：（）若，在上递增；若，当时，单调递增；当时，单调递减（）由（）知，若，在上递增，又，故不恒成立若，当时，递减，不合题意若，当时，递增，不合题意若，在上递增，在上递减，符合题意，故，且（当且仅当时取“”）当时，所以6. 解：（） ，（1）当时，在在上单调递增 （2）当时，设方程的两根为，则， ，在，上单调递增，上单调递减 （）由（）可知，且， 由因为所以 设，令
4、，当时，故在上单调递减，所以综上所述，时，恒成立.7. 解：（）若a1，b3，f（x）x2+2lnx3x，导数为f（x）2x3，可得在x1处切线的斜率为2，f（1）0，可得切线方程为y2（x1），即为2x+y20；（）证明：若f（x1）f（x2）0，且x1x2，可得x12+2alnx1bx10，x22+2alnx2bx20，两式相减可得（x1x2）（x1+x2）a（lnx1lnx2）b（x1x2）0，即有x1+x2ba， 可设x0，由f（x0）2x0b（x1+x2b）alnln，令t，t1，可得f（x0）lnt，设u（t）lnt，t1，导数为u（t）0，可得u（t）在t1递增，且u（1）0，可
5、得u（t）u（1）0，即lnt0，又a0，x2x10，可得f（x0）0，综上可得f（）08. 解：(1)的定义域为，（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减（ii）若，令得，或当时，；当时，所以在，单调递减，在单调递增(2)由(1)知，存在两个极值点当且仅当由于的两个极值点，满足，所以，不妨设，则由于，所以等价于设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，所以，即9.【答案】过程如下：综上所述，当时， 在内单调递增；当时， 在内单调递减，在， 内单调递增.（2）由（1）知， ，所以的两根， 即为方程的两根.因为，所以， ， .又因为， 为的零点，所以， ，两式相减得，得.而，所以： .令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.
