(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
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1、第七讲海岸线的长度问题欧几里得几何大自然的几何学 放眼宇宙,细看犬牙交错的海岸线,美丽对称而边缘并不平滑的雪花,以及天上的云朵,山中的枫叶,绝大多数的客观实物,并不像欧几里得几何中讨论的点、线段、圆、立方体、球等乃至笛卡儿的解析几何中的椭圆、椭球等那样单纯;复杂是宇宙的本性。有不少东西大处和小处的结构有相似性,例如太阳系,地球绕着太阳转,月亮又绕着地球转,月亮上的氢原子核外又有绕其旋转的电子等等,这种无限嵌套的精细的层次结构实乃大自然的几何学!多少世纪以来,人们总是用欧几里得几何的对象和概念来描述我们这个生存的世界。但是自然界随机性似乎常常产生出无法用欧几里得几何描述的对象。在这些场合,分形是
2、最好的描述工具分形几何学的基本思想 我们的主观世界认知范围是“有限”的,但是客观世界是“无限”的,我们需要开拓自己的认知领域。思考 1.闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、小麦须根系、树冠、支气管、星系、材料断口、大脑皮层等等复杂、不规则的图形还能用欧几里得几何描述吗?2.一块稻田的面积可以用欧几里得几何,但假如稻田干涸时的“泥裂”还能用欧几里得几何吗?3.刘徽“割圆术”能得到圆周长,但类似的方法能得到“海岸线”的长吗?你会相信吗?我们的主观世界认知范围是“有限”的,但是客观世界是“无限”的,我们需要开拓自己的认知领域。以下一些问题,在你所认知的领域里可能较难判断。1.你相信有这样的曲线吗?它所
3、围的面积是有限的但它的周长是无限的!答:有这样的曲线:雪花曲线(科克1904年创造的曲线)就有这样两个出乎意料的迷人的矛盾特性。直觉:曲线周长趋势?所围面积趋势?2.你相信有这样的图形吗?它的周长趋近于无穷大而它的面积则趋近于零 答:有直觉和想象:周长怎么变?面积怎么变?清凉座垫3.你相信有这样的立体图形吗?它的表面积趋于无穷大而它的体积则趋于零谢尔宾斯基海绵 答:有谢尔宾斯基海绵。将一个正方体的每个面9等分,则正方体被分成27个小正方体,抽去体心与面心处的7个小正方体;然后,对剩下的20个小正方体中的每一个再实施以上的操作,如此下去谢尔宾斯基海绵分形讨论图形的复杂性 以上三种“怪物”有什么共
4、同特点?几何分形或正规分形 自相似性。局部形态与整体形态的相似性。形象地说,就是我们用任何倍数的显微镜去观察任一局部,都与整体有相似的形态。(欧几里得几何中的圆就没有这种特性,把圆的一部分放大后便变得比较平直)一、分形起源从海岸线长度谈起 1.B.B.Mandelbrot的工作 1967年法国数学家B.B.Mandelbrot(蒙德尔布罗)在科学杂志上发表文章“英国的海岸线有多长?”。他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用来测量的尺子长短不一。这看似极其简单,但Mandelbrot发现:当测量单位变小时,所得的长度是无限增大的。但是,在欧几里得几何中,当尺的长度趋于零的时候,测量出的长度趋
5、于圆周长!但是,当尺的长度趋于零的时候,海岸线的长度却趋于无穷大!在理论数学中,瑞典数学家Koch早在1904年就构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象。直觉:周长趋于无限,面积趋于有限逻辑:如何证明?或3*1=3 3+3*1/3=3*4/3 3*4/3+12*1/3*1/3=3*4/3*4/3数学文化:一般到特殊,特殊到一般,归纳总结找规律的猜想,证明规律的猜想得结论 雪花曲线的特点自相似性。任何一个局部放大后都与整体非常相似。(欧几里得中的圆就没有这个性质)邮票上的雪花曲线(保加利亚)有什么奥秘?隆冬雪花你细瞧海岸线,就有类似的形状雪花边界线的长度?面积?春风杨柳(
6、分形树)春天到了,从一枝长1的柳条的1/3与2/3处各长出长为1/3的新枝,分叉点把新枝分成5段,每段又从其1/3与2/3处长出新枝,此刚长出的新枝之长是该段长的1/3,如此生长下去,最后得到枝繁叶茂的一棵树。请算一算枝条的总长度。B.B.Mandelbrot:“1975年,我由描述碎石的拉丁文fractus,创造出分形(fractal)一词。分形是几何外形,它与欧几里得外形相反,是没有规则的。”“首先,它们处处无规则可言。其次,它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察,还是从近处观察,分形看起来一个模样它是自相似的。“整体中的小块,从远处看是不成形的小点,近处看则发现它变得轮廓
7、分明,其外形大致和以前观察的整体形状相似。”“自然界提供了许多分形实例。例如,羊齿植物、菜花和硬花甘兰,以及许多其他植物,它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。”-B.B.Mandelbrot分形例子蒙德尔布罗集2.Mandelbrot集大图是左上角矩形部分的放大,大图中的矩形部分跟整体又是“自相似”的分形图形的“自相似性”实际上一大类规则分形都可以这样生成出来,这种过程具有一般性,并可以用几套语言类似地表示出来:分形=原形+生成元+迭代分形=公理+产生式+解释分形=初条件+输入+反馈分形几何的应用图像,数据压缩方面的研究。如:对某一
8、个静态场景的分形压缩。自然景物的模拟如:雪花,海岸线,分形山,分形树叶,分形生长模型分形植物真实的植物用迭代函数算法画的树分形艺术图片分形艺术图片分形几何的意义二、混沌自然界中的万物都遵循一定的规律。传统观点认为,只要掌握了这些规律就可以准确的预测事物的未来。例如,天文学家根据天体运行的牛顿定律就能预见未来时间里发生日月蚀的具体时刻。然而,自然界中也存在着许多事物,人们根本不能预见它们未来的运动变化。例如,空气中飘动的气球,气球本身和作用于气球的空气流同样也都受到牛顿动力学的支配,但无人能够准确地预测它在不久将来的位置。这种现象根据确定论代表人物法国数学家拉普拉斯的观点,其原因是我们不能准确知
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